Алгебра 8 клас                                                       Дата проведення 

Урок № 54

Тема: Теорема Вієта

Мета:  сформувати та довести теорему Вієта, домогтися засвоєння учнями змісту теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння; формувати навички застосування теореми до розв’язування вправ; розвивати  логічне мислення, пам’ять, увагу, спостережливість, усний рахунок; виховувати  пізнавальну активність та  інтерес до математики

Тип уроку: урок засвоєння нових знань

Обладнання: підручник, роздатковий матеріал

                            Епіграф        

                                          Недостатньо лише мати гарний

                                         розум, головне – раціонально його

                                         використовувати.

                                                                            Рене Декарт

Хід уроку

1.   Організаційний момент

2.   Перевірка домашнього завдання

                                           Вправа № 977 ( а, б)

    Домашнє завдання вчитель перевіряє вибірково в учнів,  про дискримінант, корені вбудованого квадратного рівняння та корені даного рівняння.

                                                             Вправа № 978

Вводячи нову змінну у біквадратне рівняння, розв’язують квадратне, а потім вертаються до  заміни.

3.   Актуалізація опорних знань.  Робота в групах . Учні створюють методичний  бюлетень, який містить вивчений матеріал про квадратні рівняння , кожна група заповнює маркерами різного кольору.  Потім обмінюються маркерами,  аналізують зміст  та доповнюють тим матеріалом, якого в них не має, а є у інших груп.

4.   Формування мети та завдань уроку

Повідомлення . Історичні відомості про Франсуа Вієта. Робота в групах з тестовими завданнями – правильні відповіді  утворюють  слово, яке відображає сферу діяльності  Вієта.

ФРАНСУА ВІЄТ (1540—1603 pp)

Варіант 1

1.    Дискримінант рівняння х² – 24х -  25 = 0 дорівнює:

А. 576;              Б. 476;                 В. 676;                 Г. 625.

      2. Корені рівняння х² – 24х -  25 = 0:

          А. 25 і 1;           Б. – 25 і 1;            В. – 25 і – 1;         Г. 25 і – 1.

      3. Сума коренів рівняння х² – 24х -  25 = 0:

          А. – 24;              Б. – 26;                  В. 24;                   Г. 26.

      4. Добуток коренів рівняння х² – 24х -  25 = 0:

          А. – 25;              Б. – 26;                   В. 25;                   Г. 24.

      5. Рівняння 7х² – 5х + 16 = 0  має:

          А. безліч коренів;   Б. жодного кореня;   В. один корінь;       Г. два корені.

      6. Дискримінант рівняння х² – 10х – 11 = 0:

          А. 100;            Б. 144;                  В. 56;                        Г. 64.

      7. Корені рівняння х² – 10х – 11 = 0:

           А. – 11 і 1;           Б. – 11 і – 1;               В. 11 і – 1;               Г. 11 і 1.

      8. Сума коренів рівняння х² – 10х – 11 = 0:

            А. 10;                Б. – 12;               В. – 10;               Г. 12.

      9. Добуток коренів х² – 10х – 11 = 0:

            А. – 12;              Б. – 11;              В. 11;                  Г. 12.

1	2	3	4	5	6	7	8	9
А	А	А	А	А	А	А	А	А
Л	О	Д	Е	Н	У	В	И	Р
Б	Б	Б	Б	Б	Б	Б	Б	Б
Н	И	С	А	М	А	Ч	Е	К
В	В	В	В	В	В	В	В	В
М	У	Т	О	П	Е	Т	І	Ш
Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г
Т	А	В	И	Ф	О	Б	У	З

Ключове слово – математик

Варіант 2

1.    Дискримінант рівняння х² + 17х – 18 = 0 :

А. 289;                Б. 361;                  В. 217;                        Г. – 361.

     2. Рівняння х² + 17х – 18 = 0 має корені:

          А. 18 і – 1;         Б. – 18 і 1;                В. – 18 і – 1;                Г. 18 і 1.

     3. Сума коренів рівняння х² + 17х – 18 = 0:

       А. 17;                Б. 19                         В. – 19;                         Г. – 17;                   

     4. Добуток коренів рівняння    х² + 17х – 18 = 0:

          А. – 18;       Б. 18;                   В. 19;                         Г. – 19.

      5. Рівняння 64х² – 9х – 2 = 0 має:

          А. безліч коренів;         Б. жодного кореня;      В. один корінь;    Г. два корені.

      6. Сума коренів рівняння х² – 12х + 35 = 0:

          А. 12;                Б. – 12;                 В. 2;                Г. – 2.

     7. Добуток коренів рівняння   х² – 12х + 35 = 0:

          А. 12;                Б. – 35;              В. 35;                                    Г. – 12.

   

1	2	3	4	5	6	7
А	А	А	А	А	А	А
И	Т	С	О	М	А	Л
Б	Б	Б	Б	Б	Б	Б
А	Д	Ц	А	Н	У	Т
В	В	В	В	В	В	В
О	Ж	Б	І	З	И	В
Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г
Е	С	В	Е	К	Е	Г

Ключове слово  - адвокат

Варіант 3

1. Дискримінант рівняння х² – 15х -  16 = 0 дорівнює:

А. 225;              Б. 289;                 В. 161;                 Г. 94.

      2. Корені рівняння х² – 15х -  16= 0:

          А. 16 і - 1;           Б. – 16 і 1;            В. 8 і 0,5;         Г. жодного.

      3. Сума коренів рівняння х² – 15х - 16 = 0:

          А. – 15;              Б. – 26;                  В. 15;                   Г. 26.

      4. Добуток коренів рівняння х² – 15х -  16 = 0:

          А. – 16;              Б. 16;                   В. 17;                   Г.- 17.

      5. Рівняння 25х² – 4х + 8 = 0  має:

          А. безліч коренів;   Б. жодного кореня;   В. один корінь;       Г. два корені.

      6. Корені рівняння х² + 10х – 11 = 0:

           А. – 11 і 1;           Б. – 11 і – 1;               В. 11 і – 1;               Г. 11 і 1.

      7. Сума коренів рівняння х² + 10х – 11 = 0:

            А. 10;                Б. – 12;               В. – 10;               Г. 12.

      8. Добуток коренів х² + 10х – 11 = 0:

            А. – 12;              Б. – 11;              В. 11;                  Г. 12.

1	2	3	4	5	6	7	8
А	А	А	А	А	А	А	А
І	С	П	Р	Е	Н	А	К
Б	Б	Б	Б	Б	Б	Б	Б
А	З	Р	Т	О	М	Е	М
В	В	В	В	В	В	В	В
У	М	Т	П	У	Л	О	Л
Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г
И	Т	Д	Ф	И	П	У	С

Ключове слово – астроном

Варіант 4

1. Дискримінант рівняння х² – 7х -  8 = 0 дорівнює:

А. 49;              Б. 81;                 В. 17;                 Г. - 17.

      2. Корені рівняння х² – 7х -  8= 0:

          А. - 8 і - 1;           Б.  8 і - 1;            В. 8 і 1 ;         Г. жодного.

      3. Сума коренів рівняння х² – 7х - 8 = 0:

          А.  7;              Б. -  7;                  В. - 9;                   Г. 9.

      4. Добуток коренів рівняння х² – 7х -  8 = 0:

          А. 9;                   Б. 8;                   В. – 8;              Г.- 9.

      5. Рівняння 8х² – 6х - 14 = 0  має:

          А. безліч коренів;   Б. жодного кореня;   В. один корінь;       Г. два корені.

      6. Дискримінант рівняння х² – 4х – 21 = 0:

          А. 100;            Б. 27;                  В. - 65;                        Г. 65.

      7. Корені рівняння х² - 4х – 21 = 0:

           А. – 7 і 3;           Б. – 7 і – 3;               В. 7 і – 3;               Г. 7 і 3.

      8. Сума коренів рівняння х² - 4х – 21 = 0:

            А. -4;                Б. - 10;               В. 4 ;               Г. 10.

      9. Добуток коренів х² – 14х – 21 = 0:

            А. – 12;              Б. – 21;              В. 21;                  Г. 12.

     10. Дискримінант рівняння 2х² – 7х – 30 = 0:

            А.. 79;                Б. – 71;              В. 169;                 Г.  289.

     11. Корені рівняння 2х² – 7х – 30 = 0:

            А. 6 і 2,5;          Б. 6 і – 2,5;          В. – 2,5 і 15;             Г. – 6 і – 15.

     12. Сума коренів рівняння 2х² – 7х – 30 = 0:

            А. 3, 5;                Б. – 3,5;             В. 12,5;                    Г. – 12,5.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А	А
Ч	А	Ф	П	Е	В	О	М	Ж	В	Е	К
Б	Б	Б	Б	Б	Б	Б	Б	Б	Б	Б	Б
Ш	И	Т	С	О	Д	У	К	Ь	Д	И	Н
В	В	В	В	В	В	В	В	В	В	В	В
Ц	У	Б	Р	И	М	А	Л	З	К	У	М
Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г	Г
Ю	Я	Ш	Т	У	Ж	Е	П	Я	Н	Є	З

Ключове слово -  шифрувальник

Варіант 5

     1. Рівняння х² + 5х – 6 = 0 має корені:

          А. 6 і – 1;         Б. – 6 і 1;                В. – 6 і – 1;                Г. 6 і 1.

     2. Сума коренів рівняння х² + 5х – 6 = 0:

       А. - 5;                Б. 5;                    В. – 7;                         Г. 7

     3. Добуток коренів рівняння    х² + 5х – 6 = 0:

          А. – 7             Б. 6;                   В. 7;                         Г. – 6;       .

      4. Рівняння 5х² – 6х – 11 = 0 має:

          А. безліч коренів;         Б. жодного кореня;      В. один корінь;    Г. два корені.

      5. Сума коренів рівняння х² – 7х + 12 = 0:

          А. 12;                Б. – 12;                 В. 7;                Г. – 7.

     6. Добуток коренів рівняння   х² – 7х + 12 = 0:

          А. 12;                Б. – 12;              В. 1;                    Г. – 1.

1	2	3	4	5	6
А	А	А	А	А	А
Д	А	М	Л	Е	К
Б	Б	Б	Б	Б	Б
Р	О	Н	К	У	Д
В	В	В	В	В	В
Ц	Я	З	В	И	Н
Г	Г	Г	Г	Г	Г
В	У	Д	Н	А	Ч

Ключове слово -  радник

Учні виступають з невеликими доповідями про діяльність Франсуа Вієта

      Знаменитий французький математик Франсуа Вієт народився 1540 р. у

містечку Фонтеней. Його батьки були заможними людьми. Вони мріяли, що

син стане адвокатом. Після закінчення юридичної школи з 1559 р. Вієт

почав свою адвокатську діяльність. Він вів справи однієї дворянки і

водночас навчав астрономії її єдину дочку Катерину. Навчаючи дівчину,

Франсуа і сам захоплюється астрономією. У нього виникає задум великої

праці з астрономії. Щоб написати таку працю, потрібні були знання з

тригонометрії, тому Вієт сумлінно починає працювати над тригонометрією.

Через свою ученицю Франсуа познайомився з Генріхом Наваррським

(майбутнім Генріхом IV) і згодом став його радником.

        У 1671 р. Вієт переїжджає до Парижа, щоб особисто познайомитися з

паризькими математиками. Тут він продовжує адвокатську діяльність і

водночас займається математикою. Розповідають, що нерідко, забувши

навіть про їжу, Франсуа Вієт міг дві-три доби підряд просиджувати за

своїм робочим столом, розв'язуючи якусь цікаву задачу або досліджуючи

якесь складне питання.

       Вієт добився значних успіхів у галузі алгебри. Недарма його вважають

творцем алгебраїчних формул та алгебраїчної символіки і навіть називають

«батьком алгебри». Запровадивши позначення коефіцієнтів рівнянь буквами, Вієт розробив ряд важливих питань теорії рівнянь 1—4 степенів. Він сформулював і довів кілька теорем про взаємозв'язки між коренями і коефіцієнтами рівнянь,зокрема й теорему про зведене квадратне рівняння.

      Відомо, наприклад, що він любив розгадувати зашифровані листи. Під час війни Франції з Іспанією всі таємні листи іспанців вільночитали французи. Як не намагалися іспанські шифрувальники заплутати шифр, Вієт щоразу успішно розгадував його. Не уявляючи собі могутності людського розуму, іспанці думали, що французам допомагає сам диявол, і навіть звертались до римського папи з проханням знищити цю диявольську силу.

       У 1671 роцы Вієт перейшов на державну службу, ставши радником парламента у Бретані. Знайомство з Генріхом Наварським, майбутнім королем Франції Генріхом IV, допомогло Вієту зайняти видну придворну посаду - таємного радника - спочатку при королі Генріху ІІІ, а потім і при Генріху IV. Він прославився тим під час франко - іспанської війни. Іспанські інквізитори вигадали дуже важкий шифр, який складався приблизно з 600 знаків і весь час змінювався і доповнювався. Завдяки цьому шифру войовнича та сильна на той час Іспанія могла вільнолистуватися з супротивниками французкого короля навіть у самій Франції, і це листування залишалася нерозгаданою. Після марних спроб знайти ключ до шифру король звернувся до Вієта. Розповідають, що Вієт, протягом двох тижнів поряду дні і ночі провів за роботою, все ж таки знайшовши ключ до шифра. Після цього несподівано для іспанців Франція стала вигравати один бій за іншим. Пізніше іспанцям стало відомо, що шифр для французів уже не таємниця і що винуватець його розшифровки - Вієт.

5.   Засвоєння нових знань. Теорема Вієта та обернена теорема до неї

Вводиться поняття зведеного квадратного рівняння.

Інтерактивна технологія «Мозковий штурм». Вчитель пропонує учням декілька квадратних рівнянь, в яких учні знаходять спільне.

х² – 5х + 4 = 0;

х² + 8х + 12 = 0;

х² + 8х – 9 = 0;

х² – 10 х – 21 = 0.

Рівняння в якому коефіцієнт при а = 1, називають зведеним квадратним рівнянням.

    На першому і другому  прикладах рівнянь, учні знаходять  суму коренів та аналізують коефіцієнти рівняння.

Теорема Вієта

Якщо х₁ і х₂ – корені рівняння х ² + вх + с = 0, то х₁ + х₂ = - в і х₁ · х₂ = с. У рівнянні х² + вх + с = 0 сума коренів дорівнює протилежному в, а добуток – с.

Вчитель доводить теорему, користуючись підручником.

Обернену теорему до теореми Вієта, учні формулюють самі.

   Якщо числа х₁ i х₂ такі, що  х₁ + х₂ = - в, х₁ · х₂ = с, то ці числа х₁ і х₂ є коренями рівняння х² + вх + с = 0.

6.   Розв’язування  квадратних рівнянь за теоремою Вієта.

Виконання усних вправ

    Знайдіть суму та добуток коренів рівняння, які пропонувалися учням при «мозковому штурмі»

                 х² – 5х + 4 = 0;

                 х² + 8х + 12 = 0;

                 х² + 8х – 9 = 0;

                 х² – 10 х – 21 = 0.

Виконання письмових вправ

Як правильно оформити розв’язання квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта показує вчитель і учні виконують завдання  з підручника на дошці.

                                                          Вправа № 1005

а) у² + 5у – 14 = 0.    у₁ + у₂ = - 5, у₁ · у₂  = - 14. То у₁ = - 7;   у₂ = 2.

Аналогічно б, в, г.

                                                           Вправа № 1009

а) х² – 14х + q = 0. Якщо корені мають рівня значення, то q = 49., бо 14 = 7 + 7.

7.   Підсумки уроку

Бесіда:

-        Що дозволяє теорема Вієта?

-        Яке рівняння називають зведеним?

-        Чи всі квадратні рівняння можна розв’язувати за допомогою теореми Вієта?

-        Чи всі зведені квадратні рівняння можна розв’язати за допомогою теореми Вієта?

8.   Домашнє завдання

                  §21   № 1004, 1010.